Especialidad de Habilidades en Matemática IV

Ciencia y Salud

Requisitos

  1. Tener la especialidad de Habilidades en Matemática III.

    Respuesta: Necesitas haber completado anteriormente la especialidad de Habilidades en Matemática III, demostrando dominio de los contenidos progresivos: ecuaciones simples, fracciones, porcentajes iniciales, geometría básica y operaciones con decimales y raíces — base esencial antes de avanzar hacia las ecuaciones de 2º grado y las funciones en esta IV. — La serie de Habilidades en Matemática (I, II, III y IV) sigue un currículo progresivo desde los últimos años de la enseñanza fundamental hasta la media brasileña — fue planeada por la División Sudamericana en 2012 para acompañar la BNCC.

  2. Presentar un informe bibliográfico con al menos cinco personalidades que contribuyeron al desarrollo de la matemática a lo largo de la historia de la humanidad.

    Respuesta: Incluye: Pitágoras (siglo VI a.C., teorema de los triángulos rectángulos); Euclides (siglo III a.C., geometría axiomática en 'Los Elementos'); Arquímedes (287-212 a.C., cálculo del número π y principios de la física); Al-Juarismi (siglo IX d.C., fundador del álgebra moderna y del algoritmo); Isaac Newton (1643-1727, cálculo diferencial e integral). — Al-Juarismi es el origen de las palabras 'álgebra' (del libro Al-yabr) y 'algoritmo' (latinización de su nombre) — el sabio persa-árabe es el padre de la matemática moderna que conocemos.

  3. Desarrollar y presentar los cálculos de las siguientes ecuaciones:
    • 5x² - 3x - 2 = 0
    • 3x² + 55 = 0
    • x² - 10x + 25 = 0

    Respuesta: a) 5x²-3x-2=0: Δ=b²-4ac=9+40=49; x=(3±7)/10; x'=1 y x''=-2/5. b) 3x²+55=0: 3x²=-55; x²=-55/3 (negativo); SIN SOLUCIÓN REAL pues Δ<0. c) x²-10x+25=0: Δ=100-100=0; x=10/2=5 (raíz doble, cuadrado perfecto). — La ecuación (c) es un trinomio cuadrado perfecto: x²-10x+25 = (x-5)² — caracterizado por Δ=0 y raíz única. La (b) tiene coeficiente a>0 con c>0 y b=0, siempre sin raíces reales.

  4. Presentar y desarrollar los cálculos de porcentaje de los siguientes problemas:
    • 3% de 450
    • 25% de 1440
    • 30% de 2500

    Respuesta: a) 3% de 450 = (3/100) × 450 = 13,5. b) 25% de 1440 = (25/100) × 1440 = 360 (o 1/4 de 1440). c) 30% de 2500 = (30/100) × 2500 = 750. Para calcular x% de N, multiplica N por (x/100), o divide N entre 100 y multiplica por x. — La regla práctica '1% de N = N/100' agiliza los cálculos: 1% de 450 = 4,5, entonces 3% = 13,5; 1% de 2500 = 25, entonces 30% = 750 — método mental usado en el comercio y las finanzas.

  5. Presentar de forma escrita tres situaciones prácticas en las que usamos el porcentaje en nuestro día a día.

    Respuesta: Tres usos prácticos: (1) descuentos en tiendas — una camiseta de R$80 con 20% de descuento cuesta R$64 (R$80 × 0,80); (2) intereses de la tarjeta de crédito — un saldo deudor de R$1000 con un interés del 8% al mes genera R$80 más por mes; (3) impuestos sobre productos — un ICMS del 18% sobre una mercancía de R$500 añade R$90 al precio final. — La tasa de interés rotativo de la tarjeta en Brasil llegó al 437% anual en 2023 (Banco Central), volviendo crucial la alfabetización financiera sobre porcentajes — la Ley 14.690/2023 limitó los intereses al 100% anual en hasta 60 días.

  6. Presentar y desarrollar tres situaciones prácticas de problemas del día a día en las que usamos la ecuación de segundo grado.

    Respuesta: Tres situaciones: (1) un terreno rectangular cuya área es 200m² y cuyo largo es el doble del ancho — plantear 2x²=200, x=10m de ancho y 20m de largo; (2) movimiento de caída libre h=½gt² — calcular el tiempo de caída; (3) ganancia máxima en una empresa cuya función L(x)=-x²+100x permite encontrar el vértice de la parábola. — La ecuación 2x²=200 del problema del terreno tiene una solución elegante: x²=100, x=±10. Tomamos solo el positivo (una medida no puede ser negativa) — el descarte de raíz es una práctica común en problemas físicos reales.

  7. Resolver y presentar el desarrollo de las siguientes funciones: Siendo f(x) = x - 3 y g(x) = -3x + 4, determinar:
    • f(f(0))
    • f(f(1)) + g(f(3))

    Respuesta: f(x)=x-3, g(x)=-3x+4. (a) f(f(0)): primero f(0)=0-3=-3; después f(-3)=-3-3=-6. Por lo tanto f(f(0))=-6. (b) f(f(1))+g(f(3)): f(1)=1-3=-2; f(-2)=-2-3=-5. Para g(f(3)): f(3)=3-3=0; g(0)=-3(0)+4=4. Total: -5+4=-1. — La función compuesta f(g(x)) significa aplicar g primero y luego f al resultado — el orden importa porque f∘g generalmente es diferente de g∘f, propiedad llamada no conmutatividad de la composición.

  8. Representar en el gráfico cartesiano las siguientes funciones:
    • y = 3x - 1
    • f(x) = 2x + 3

    Respuesta: Para y=3x-1: línea recta con pendiente 3 (sube 3 unidades por 1 horizontal) e intercepto y=-1; pasa por los puntos (0,-1) y (1,2). Para f(x)=2x+3: recta con pendiente 2 e intercepto y=3; pasa por (0,3) y (1,5). Marque ambas en el plano cartesiano con ejes x e y, uniendo los puntos calculados con regla. — Toda función del tipo y=ax+b es una recta — el coeficiente a es la pendiente (rise/run) y b es donde la recta corta el eje y. Conocida como forma reducida de la ecuación de la recta, esencial en cálculo y geometría analítica.

  9. Demostrar la habilidad de resolver problemas que involucran círculos, como calcular la circunferencia y el área usando la fórmula de cada uno. Presentar dos ejemplos de cada uno.

    Respuesta: Fórmulas: Circunferencia C=2πr (o C=πd donde d=diámetro). Área A=πr². Ejemplos de circunferencia: (1) r=5cm: C=2π(5)=10π≈31,42cm; (2) r=10cm: C=20π≈62,83cm. Ejemplos de área: (1) r=5cm: A=π(5²)=25π≈78,54cm²; (2) r=10cm: A=100π≈314,16cm². — El número π (pi) ≈ 3,14159 es la razón constante entre la circunferencia y el diámetro de cualquier círculo — Arquímedes calculó π por primera vez en el 250 a.C. usando polígonos inscritos y circunscritos.

  10. Presentar la habilidad de calcular el área de polígonos regulares, como un hexágono inscrito en un círculo, el área de la superficie del cilindro, el volumen del prisma y el volumen de la pirámide.

    Respuesta: Hexágono inscrito (lado=radio): A=(3√3/2)·l². Área superficial del cilindro: A=2πr²+2πrh (dos tapas + lateral). Volumen del prisma: V=A_base·h. Volumen de la pirámide: V=(1/3)·A_base·h. Ejemplo cilindro r=3, h=10: A=2π(9)+2π(3)(10)=18π+60π=78π≈245cm². — La pirámide tiene un volumen 1/3 del prisma con la misma base y altura — ese factor de 1/3 fue demostrado por Eudoxo en el siglo IV a.C. usando el método de exhaución, anticipándose al cálculo integral de Newton.

  11. En nuestro día a día, lidiamos todo el tiempo con tasas de interés. Demuestra la habilidad de resolver las dos situaciones más comunes de interés.
    • Luciana hizo una inversión de R$ 200,00 a interés simple del 2% mensual. ¿Cuánto tendrá, en total, después de 8 meses de inversión?
    • Davi solicitó un préstamo bancario de R$ 3.000,00 y lo pagará en 6 meses con una tasa de interés compuesto del 1,5% mensual. Calcula el total que deberá pagar al banco después de esos 6 meses.

    Respuesta: Interés simple (Luciana): J=C·i·t = 200·0,02·8 = R$32; total final = 200+32 = R$232. Interés compuesto (Davi): M=C·(1+i)^t = 3.000·(1,015)^6 ≈ 3.000·1,0934 ≈ R$3.280,18. Diferencia: el simple crece linealmente, el compuesto crece exponencialmente porque incide sobre el saldo acumulado. — La diferencia entre el interés simple y el compuesto es que el compuesto incorpora 'interés sobre interés' — en plazos largos la diferencia es gigantesca, motivo por el cual el Banco Central exige la divulgación del CET (Costo Efectivo Total) en todo financiamiento desde 2008.